NOCIONES SOBRE NÚMEROS PERFECTOS
Antonio Soliño Vidal ©
Todo número primo es aquel número entero positivo que solamente puede
ser divisible exacto por sí mismo y por la unidad. Así, por ejemplo, el 5 es
número primo porque sólo lo divide el mismo 5 y el número 1. Por el contrario,
el 12 no es primo porque, aparte de ser dividido por el mismo 12 y el 1,
también lo dividen los números 2, 3, 4, y 6.
El teorema fundamental de la aritmética establece que cualquier número
entero positivo puede expresarse como producto de números primos, que son sus divisores.
Tomemos como ejemplo el 28; aquí vemos que el 28 es el producto de 2 x 2 x 7.
Si tomamos el número 69, se puede verificar que es igual a 3 x 23. Y de igual
forma cualquier número entero positivo, cuyo resultado siempre será el producto
de dos o más números primos.
Ahora bien, los números primos
presentan una distribución aleatoria; es decir, no se encuentran
distribuidos de manera periódica ni predecible. El problema de que aún no se
haya obtenido una “fórmula” que funcione a
priori y sólo se descubran “a pulmón”, queda evidenciado por el hecho de
que hay que calcular los números impares uno por uno para ver si aparece algún
número primo desde el último primo conocido. Y así, hasta el infinito. El uso
de programas de computación ha facilitado los cálculos para tal complejidad de
operaciones, pero nada tiene que ver con obtener la famosa “fórmula”.
Los números primos tienden a distanciarse a medida que se hacen de
mayor valor, y a contrario sensu
estarán más cerca entre sí cuanto más cercanos estén del número cero.
Por otro lado, los números
perfectos son aquellos enteros positivos que igualan a la suma de sus
divisores propios (los menores al número considerado). Así, el número 6 sólo es
divisible por 1, 2 y 3, y a su vez 6 es igual a 1 + 2 + 3; por lo tanto, 6 es
un número perfecto.
Otro ejemplo de número perfecto es el 496, ya que es igual a la suma de
todos sus divisores propios. Veamos: 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 +
248.
Pero la gran mayoría de los números no reúne esta condición; por lo
tanto, no son perfectos. Como simple ejemplo, el 12 no es perfecto pues es
menor que la suma de sus divisores: 12 < 1 + 2 + 3 + 4 + 6. El número 15
tampoco es perfecto pues es mayor que la suma de sus divisores: 15 > 1 + 3 +
5.
Al igual que los números primos, los
números perfectos tienden a distanciarse a medida que se hacen de mayor valor,
y mantienen más frecuencia entre sí cuanto más cercanos están al número cero.
Hasta hoy, se conocen solamente 51 números perfectos y el último
conocido está tan alejado, es tan grande, que cuenta con 49.724.095 dígitos.
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| Euclides (ca. 325-265 a.C) |
Ahora hagamos un poco de historia. Euclides fue un matemático que se estima vivió entre los años 325 a.C. al 265 a.C. [1] Observando los primeros cuatro números perfectos pares conocidos en ese entonces (6, 28, 496 y 8.128), dedujo que eran dados por la ecuación 2𝑛−1 (2𝑛 − 1). Si en esta ecuación de Euclides, le damos a la incógnita n el valor del número primo 3, obtenemos el segundo número perfecto, 28:
2𝑛−1 (2𝑛 – 1) = 23 – 1 (23 − 1) = 22 (23 − 1) = 4 (8 − 1) = 4 x 7 = 28
Mucho después, en el siglo XVIII de nuestra era, el matemático suizo
Leonardo Euler (Leonhard Euler) [2] demostró que todos los números perfectos pares vienen dados por esa ecuación de Euclides.
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| Leonhard Euler (1703-1783) |
• Si existen números perfectos impares, deben ser mayores a 10.300.
• Deben tener 8 o más factores primos, y si no es divisible por 3 debe tener
al menos 11.
• Uno de los factores tiene que ser mayor que 107, otros dos mayores a
10.000 y tres mayores a 100.
En el trabajo que se presenta seguidamente, “Números Perfectos Impares”, se hace un análisis de los números
perfectos y se llega a la conclusión de que se descomponen en sólo dos factores
primos, donde cada uno está relacionado con la suma de divisores del otro.
De modo que todos los números
perfectos por tener únicamente dos factores deben ser necesariamente pares, por lo que quedan descartados los números perfectos impares.
Ver el siguiente enlace:
https://drive.google.com/file/d/1zCzpUqTWMiNJDGShNgS_AmmSKSFpwbz_/view?usp=drive_link
que incluye el trabajo “Números
Perfectos Impares”, que se halla inscripto en el Registro Central de la
Propiedad Intelectual de España como obra científica, bajo el número de asiento
registral 00 / 2025 / 2603, de fecha 3/4/2025, de acuerdo a la Ley de Propiedad
Intelectual (Real Decreto Legislativo 1/1996, del 12/4/1996).
Referencias:
[1]
Euclides desarrolló su trabajo en Alejandría (antiguo Egipto) en tiempos de
Ptolomeo I Sóter (323 - 283 a.C.).
[2]
Leonardo Euler o Leonhard Paul Euler (Basilea, Suiza; 15/4/1707 - San
Petersburgo, Imperio ruso; 18/9/1783).
NUEVOS COLABORADORES
ANTONIO SOLIÑO VIDAL
